群的表示（the presentation of groups）是利用任何群都是自由群的商群这一事实来给出群的描述的一种手段——确定一个群，我们只需要确定和它相关的自由群的生成元以及作商的正规子群中的约束关系即可。
目录
1 定义
2 一些例子
3 表示的并
4 两个问题
定义[]
假设有集合
S
{\displaystyle S}
以及其上的自由群
F
(
S
)
{\displaystyle F(S)}
，
R
{\displaystyle R}
是
F
(
S
)
{\displaystyle F(S)}
中一些元素的集合，我们定义
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
为一个群的表示，
S
,
R
{\displaystyle S, R}
中的元素分别被称作生成元（generator）和关系元（relator）。这个群的表示确定了一个群
F
(
S
)
/
R
¯
{\displaystyle F(S)/\overline{R}}
，我们也记作
⟨
S
|
R
⟩
.
{\displaystyle \langle S | R \rangle.}
其中
R
¯
{\displaystyle \overline{R}}
是集合
R
{\displaystyle R}
在
F
(
S
)
{\displaystyle F(S)}
中的正规闭包，即包含
R
{\displaystyle R}
的所有
F
(
S
)
{\displaystyle F(S)}
的正规子群的交，是包含
R
{\displaystyle R}
的
F
(
S
)
{\displaystyle F(S)}
的最小的正规子群。
每一个生成元
s
∈
S
{\displaystyle s \in S}
决定了
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
中的一个陪集，我们也记作
s
{\displaystyle s}
，每一个关系元
r
∈
R
{\displaystyle r \in R}
表示了
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
中生成元的幂次的乘积为单位元的约束关系。
给定一个群
G
{\displaystyle G}
，如果存在一个群的表示
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
以及同构映射
Φ
:
G
→
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \varPhi: G \to \langle S | R \rangle}
，我们就称
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
是
G
{\displaystyle G}
的一个表示，如果
S
,
R
{\displaystyle S, R}
都是有限集，我们就称这样的表示是有限表示（finitely presentation）。我们可以记作
⟨
S
|
R
⟩
=
⟨
s
1
,
s
2
,
⋯
,
s
m
|
r
1
,
r
2
,
⋯
,
r
n
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle = \langle s_1,s_2,\cdots,s_m | r_1,r_2,\cdots,r_n \rangle}
由于
r
i
{\displaystyle r_i}
在
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
中和单位元相等，我们也可以写得详细一些
⟨
S
|
R
⟩
=
⟨
s
1
,
s
2
,
⋯
,
s
m
|
r
1
=
1
,
r
2
=
1
,
⋯
,
r
n
=
1
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle = \langle s_1,s_2,\cdots,s_m | r_1 = 1,r_2 = 1,\cdots,r_n = 1 \rangle}
每个等式
r
i
=
1
{\displaystyle r_i = 1}
被称为是关系（relation）。当然关系也可以用其它等式描述，例如令
r
i
=
p
i
q
i
−
1
{\displaystyle r_i = p_i q_i^{-1}}
，那么
⟨
S
|
R
⟩
=
⟨
s
1
,
s
2
,
⋯
,
s
m
|
p
1
=
q
1
,
p
2
=
q
2
,
⋯
,
p
n
=
q
n
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle = \langle s_1,s_2,\cdots,s_m | p_1 = q_1,p_2 = q_2,\cdots,p_n = q_n \rangle}
一些例子[]
我们给出一些群的表示的例子：
集合
S
{\displaystyle S}
自由群：
F
(
S
)
≅
⟨
S
|
∅
⟩
.
{\displaystyle F(S) \cong \langle S | \varnothing \rangle.}
特例 平凡群：
{
e
}
≅
⟨
∅
|
∅
⟩
.
{\displaystyle \{ e \} \cong \langle \varnothing | \varnothing \rangle.}
特例 整数加群：
Z
≅
⟨
g
|
∅
⟩
.
{\displaystyle \Z \cong \langle g | \varnothing \rangle.}
有限循环群：
Z
/
n
Z
≅
⟨
g
|
g
n
=
1
⟩
.
{\displaystyle \Z/n\Z \cong \langle g | g^n = 1 \rangle.}
自由交换群：
Z
⊕
A
≅
⟨
A
|
a
i
a
j
=
a
j
a
i
,
a
i
,
a
j
∈
A
,
a
i
≠
a
j
⟩
.
{\displaystyle \Z^{\oplus A} \cong \langle A | a_ia_j = a_j a_i, a_i, a_j \in A, a_i \ne a_j \rangle.}
特例：
Z
⊕
Z
≅
⟨
a
,
b
|
a
b
=
b
a
⟩
.
{\displaystyle \Z \oplus \Z \cong \langle a, b | ab = ba \rangle.}
表示的并[]
群的表示给出了刻画一个群的具象的手段，尤其是刻画自由积和商群：
假设集族
{
S
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{S_i\}_{i\in I}}
的每个元素两两不交，
I
{\displaystyle I}
是有限指标集，对任意
i
∈
I
{\displaystyle i \in I}
R
i
{\displaystyle R_i}
是自由群
F
(
S
i
)
{\displaystyle F(S_i)}
的子集，那么自由积
∗
i
∈
I
⟨
S
i
|
R
i
⟩
≅
⟨
⋃
i
∈
I
S
i
|
⋃
i
∈
I
R
i
⟩
.
{\displaystyle \ast_{i \in I} \langle S_i | R_i \rangle \cong \left\langle \bigcup_{i \in I} S_i \left| \bigcup_{i \in I} R_i \right. \right\rangle.}
假设
S
{\displaystyle S}
是一集合，
R
1
,
R
2
{\displaystyle R_1,R_2}
是自由群
F
(
S
)
{\displaystyle F(S)}
的子集，令
π
:
F
(
S
)
→
⟨
S
|
R
1
⟩
{\displaystyle \pi: F(S) \to \langle S|R_1 \rangle}
是自然满同态，那么商群
⟨
S
|
R
1
⟩
/
π
(
R
2
)
¯
≅
⟨
S
|
R
1
∪
R
2
⟩
.
{\displaystyle \langle S|R_1 \rangle/\overline{\pi(R_2)} \cong \langle S|R_1 \cup R_2 \rangle.}
两个问题[]
虽然群的表示把群具象化了，但是让然有一些简单的问题难以处理，例如
同构问题（isomorphism problem）：给定两个有限表示，它们代表的群是否同构。
字问题（word problem）：给定一个有限表示
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
和
S
{\displaystyle S}
上的两个字
w
1
,
w
2
{\displaystyle w_1, w_2}
，它们在
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
中表示的元素是否是一样的，或者等价地说，给定一个字
w
{\displaystyle w}
，它在
⟨
S
|
R
⟩
{\displaystyle \langle S | R \rangle}
中是否等于单位元。
这两个问题看似简单，但实际上被证明在有限时间内内有解决的算法，对这些问题的研究引出了结合群理论（combinatorial group theory），这个分支在当下依然备受关注。
群论（学科代码：1102115，GB/T 13745—2009）
半群论
半群 ▪ 子半群 ▪ 商半群 ▪ Thierrin 定理 ▪ 半群的同态 ▪ Green 关系 ▪ 正则半群 ▪ 逆半群
群论
群 ▪ 群表 ▪ 群同态 ▪ 交换群 ▪ 自由群 ▪ 自由积 ▪ 群的表示 ▪ 平凡群 ▪ Klein 四元群 ▪ 子群和正规子群 ▪ 陪集和商群 ▪ 群同构定理 ▪ 群的直积 ▪ 群的正合列
群作用
群作用 ▪ 轨道 ▪ 群的中心 ▪ 共轭子群 ▪ 正规化子群 ▪ 共轭群作用 ▪ 群的半直积
有限群理论
置换和对称群 ▪ 交代群 ▪ 循环群 ▪ 置换群 ▪ 二面体群 ▪ Lagrange 定理 ▪ p-群 ▪ pq-群 ▪ Cauchy 定理 ▪ Sylow 定理 ▪ 正规群列 ▪ 群的复合列 ▪ Zassenhaus 定理 ▪ Schreier 定理 ▪ Jordan-Hölder 定理 ▪ 单群 ▪ 导群 ▪ 幂零群 ▪ 可解群 ▪ 有限交换群 ▪ 有限生成的交换群
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